Concentration d'un médicament

Un médicament contre la douleur est administré par voie orale. La concentration du produit actif dans le sang, en milligramme par litre de sang, est modélisé par la fonction \(f\)  qui, au temps écoulé \(x\)  en heure, \(x\)  étant compris entre \(0\)  et \(6\) , associe :

\(f(x) = x^3 -12x^2 + 36x\)  où  \(x \in [0~;~6]\) .

Le produit actif est efficace si sa concentration dans le sang est supérieure ou égale à \(5\)  mg/L.

1. En exécutant le script Python ci-dessous, on obtient la liste \([0,\, 1,\, 1,\, 1,\, 1,\, 1,\, 0]\) .

\(\begin{array}{} 1&\texttt{liste=[0,0,0,0,0,0,0]}\\ 2&\texttt{for x in range(0,7):}\\3&\quad\texttt{if x}^{**}{3-12*}\,x{**2+36\,*}\,x{>=5:}\\4&\quad\qquad\texttt{liste[x]=1}\\5&\texttt{print(liste)}\\ \end{array}\)

À l'aide de ce résultat, indiquer l'intervalle de temps en unité d'heures sur lequel le médicament est efficace.

2. On admet que la fonction \(f\)  est dérivable sur l'intervalle \([0~;~6]\) . Calculer sa fonction dérivée.

3. Justifier que la tangente \(\mathcal{T}\)  à la courbe représentative de la fonction \(f\)  au point \(\text A\) d'abscisse 4 admet pour équation réduite \(y = -12x + 64\) .

4. Démontrer que \(f(x) - (-12x + 64) = (x - 4)^3\) .

5. En déduire la position relative de la courbe représentative de la fonction \(f\)  par rapport à la tangente \(\mathcal{T}\)  au point \(\text A\) .